Vrijheidsgraden van beweging
In de machinebouw komt het er vaak op aan, dat een onderdeel een bepaalde voorgeschreven beweging uitvoert. Daarvoor zijn in de loop der tijd ontelbaar veel mechanismen ontdekt en ontwikkeld. Op deze pagina bekijk ik een aantal simpele basisbewegingen en toon ik enkele mechanismen die worden gebruikt om deze bewegingen te verkrijgen.
Een beweging vastleggen
1. Analyseren
Een beweging van bijvoorbeeld een machine-onderdeel is te beschouwen als een aaneenschakeling van posities. Pak een fototoestel. Maak de kamer (het laboratorium) volstrekt donker en zet de sluiter van de camera open. Zet het te bestuderen onderdeel in de beginpositie en laat de flitser één flits geven. Draai de film NIET door. Laat nu het onderdeel zijn beweging maken en geef tijdens de beweging achter elkaar een serie flitsen, steeds met gelijke tijdsintervallen en zonder de film door te draaien. Als het onderdeel zijn eindpositie heeft bereikt, stop je met flitsen. Als je de film nu ontwikkelt, zie je de bedoelde "aaneenschakeling van posities" fraai gevisualiseerd. De herhaalde flitsen op steeds gelijke tijdsintervallen wek je in de praktijk op met een zogenaamde stroboscoop.
Het gaat ook heel goed in OpenScad. Kijk maar hier: Multi_Exposure.scad.
Het voorwerp (een simpel blokje) maakt hier een fraaie spiraliserende vlucht door de ruimte.
Dit is de multi-exposure opname die we van die vlucht maakten, met in totaal 10 flitsen. Je ziet dat de posities steeds verder uiteen liggen. Dat betekent dat het voorwerp versneld beweegt.
Begin twintigste eeuw paste de Italiaanse Futurist en schilder Giacomo Balla deze methode al toe. Alleen niet in een foto, maar .... in een schilderij. Het detail hier toont hoe hij een hondje afbeeldde, dat door zijn baasje aan de lijn werd uitgelaten. Het was bepaald een levendig beestje, met al die pootjes.
2. Beschrijven
Wanneer je een beweging van een machine-onderdeel wilt beschrijven, zul je de zojuist in beeld gebrachte "aaneenschakeling van posities" moeten vastleggen. Dat vergt, dat we in staat zijn om elk van die posities volledig en eenduidig te definieren. Laten we éérst eens bezien, hoe je dat kunt doen.
3. Positie
Wil je een positie eenduidig kunnen beschrijven, dan begin je ermee, een vaststaand referentiekader te definieren. In veel gevallen werk je het handigst in een rechthoekig (Carthesisch) coordinatenstelsel. Dit kent drie assen, de x-, de y- en de z-as, die onderling loodrecht op elkaar staan. Het snijpunt van de drie assen noemen we "de oorsprong".
Kijken we eerst eens naar een héél klein voorwerp, eentje met (vrijwel) geen fysieke afmetingen. Een wiskundige noemt dat "een punt". Wij noemen het "P".
Om van de oorsprong van ons assenstelsel naar "P" te gaan, reizen we eerst een stukje langs de x-as, gaan verder langs de y-as en volgen tenslotte de z-as tot we precies in P uitkomen. De afstanden die we langs de drie assen moeten afleggen, noem ze x, y en z, worden "de coordinaten van het punt P" genoemd. Het drietal (x, y, z) definieert in ons gegeven assenstelsel volledig de positie van "P".
In de praktijk bestaan punten natuurlijk niet, elk fysiek voorwerp heeft nu eenmaal afmetingen. We kunnen dan de positie van het voorwerp proberen te beschrijven door de coordinaten van het zwaartepunt van het voorwerp op te geven. Maar daarmee ben je er niet. Staat het voorwerp? Ligt het? Je moet in dit geval naast de positie van het zwaartepunt ook nog de stand opgeven.
Je kunt de variaties in de stand van het voorwerp altijd terugbrengen tot drie hoofdverdraaiingen: een rotatie om de x-as, een rotatie om de y-as en een rotatie om de z-as. In huishoudelijke termen: omhoog-omlaag, links-rechts en voor-achter.
Om positie en stand van het onderdeel volledig en eenduidig vast te leggen, heb je dus zes gegevens nodig: (x, y, z, rot.x, rot.y, rot.z).
4. Beweging
Als we in staat zijn, de positie en stand van een machine-onderdeel op een willekeurig moment vast te leggen in het zestal (x, y, z, rot.x, rot.y, rot.z), dan kunnen we de complete beweging van dat onderdeel beschrijven door de ontwikkeling van dit zestal in de tijd te volgen. Denk nog even terug aan de serie momentopnamen die we aan het begin van deze pagina met de stroboscoop maakten. Bij elk beeldje dat we zien hoort een eigen zestal (x, y, z, rot.x, rot.y, rot.z).
De werktuigbouwer noemt een beweging langs de x-as, de y-as of de z-as een translatie en een beweging rond de x-as, de y-as of de z-as een rotatie.
Kan een onderdeel volledig vrij en ongehinderd op alle zes genoemde manieren bewegen, dus langs en rond de x-as, langs en rond de y-as en ook langs en rond de z-as, dan zegt men dat het onderdeel zes vrijheidsgraden heeft. Beperkt men de vrijheid, bijvoorbeeld door geen rotaties toe te staan, dan heeft het onderdeel (nog) drie vrijheidsgraden, namelijk drie translaties. Staat men alleen een translatie langs de x-as en een rotatie om de x-as toe, dan is er sprake van twee vrijheidsgraden. Enzovoorts.
Genoeg theorie!
In de machinebouw zal het zelden voorkomen, dat een onderdeel volledig vrij door de ruimte fladdert. Dat heeft geen nut. Nee, meestal wordt de vrijheid van beweging juist (sterk) beperkt, door een lagering of door een geleiding bijvoorbeeld. Vrijwel altijd is in de praktijk het aantal vrijheidsgraden beperkt tot hooguit drie of vier.
We zullen hieronder een aantal typische gevallen onder de loep nemen. Ik laat basale, schematische constructies zien. Deze lenen zich bij uitstek om in een metaalbouwdoos - Trix (Duits), Meccano (Engels), Temsi (Nederlands - te worden (na)gebouwd. Ik geef daarom isometrische CAD-tekeningen van één of meer uitvoeringsvormen in dit medium. Deze CAD-tekeningen tonen niet alleen de bouwwijze, maar ook het gerede model in één of meer standen. Bij de constructie van de modellen ben ik van eenvoudige basis-onderdelen uitgegaan. Ze kunnen dus met weinig moeite en investering worden gebouwd. Een spannend tech-demo-project!
N.B. - Al mijn CAD-tekeningen (2D - isometrisch - exploded views) op deze website zijn in het *.DWF-formaat - klik een link om de betreffende tekening te openen. Heb je nog geen *.DWF-viewer geïnstalleerd? Raadpleeg dan DEZE pagina.
Eén vrijheidsgraad
a. Eén translatie
Een eenvoudige rechtgeleiding. Twee belangrijke overwegingen bij het construeren: (1) de geleiding moet nastelbaar zijn en (2) de geleiding moet zo veel mogelijk onafhankelijk van de temperatuur zijn. Nastelbaar, omdat fabricage-toleranties nu eenmaal onvermijdelijk zijn; en ook omdat een geleiding na verloop van tijd (bij intensief gebruik) slijtage zal vertonen. Onafhankelijk van de temperatuur, omdat bij ongelijke thermische uitzetting van de samenstellende onderdelen de geleiding vast zou kunnen lopen.
b. Eén rotatie
Een simpele lagering met axiale opsluiting. Zonder axiale opsluiting ware er sprake van twee vrijheidsgraden (een rotatie en een translatie). Het getoonde voorbeeld (twee stripjes, een schroefje en twee contramoertjes) is, werktuigbouwkundig gezien, knoeiwerk. Het scharnier heeft altijd speling en die resulteert in een zwabberende beweging. Een afrader! Gebruik liever een echte lagering met asje en busje. Bij voldoende lang busje is de zaak veel stabieler. In plaats van een busje kun je natuurlijk ook het asje lageren in twéé stripjes, op voldoende afstand van elkaar geplaatst.
Twee vrijheidsgraden
a. Twee translaties
De kruistafel, die je in de praktijk veelvuldig tegenkomt. Als objecttafel van een microscoop, bijvoorbeeld; of als een set kruissleden op een draaibank. Deze constructie is eenvoudig op te bouwen uit twee afzonderlijke sleden, elk met één translatie (zie boven). De enige eis is dat beide bewegingen loodrecht op elkaar staan. In dat geval beïnvloedt een beweging langs de ene as die langs de andere as niet.In het schema hiernaast is de bovenste slede excentrisch op de onderste geplaatst. Het is verstandiger, de dwarsslede ongeveer midden op de langsslede te plaatsen, zeker wanneer er flinke verticale krachten op de sleden werken. Bij excentrische plaatsing is het kantelgevaar aan het einde van de naar buiten gerichte slag groter.
b. Eén translatie, één rotatie
Deze beweging komt in velerlei gedaanten voor. De as waarlangs de translatie plaats heeft en de as waarom de rotatie geschiedt, kunnen samenvallen, evenwijdig zijn, of haaks op elkaar staan. In de eerste gevallen spreken we van een beweging van het type "sleutel in slot steken en omdraaien", in het laatste geval van een beweging van het type "kopje koffie inschenken" of ook wel "hand uitsteken en schudden".
c. Twee rotaties
In dit geval staan de assen van de rotaties haaks op elkaar. Je dient er wel voor te zorgen, dat beide assen elkaar snijden, niet kruisen. Ware dat laatste het geval, dan beïnvloeden beide rotaties elkaar namelijk. Je zou dit type kunnen kenschetsen als "rock-en-roll".
Drie vrijheidsgraden
a. Drie translaties
Met een drie-sleden constructie als deze kan elk willekeurig punt in een kubus met ribben gelijk aan de x-slag, y-slag en z-slag worden bereikt. Zo kun je bijvoorbeeld een nauwkeurige manipulator bouwen. Voorwaarde is, dat alle drie de sleden (zeer) spelingsarm zijn; en door een nauwkeurig verstelmechanisme (bijvoorbeeld een schroefspindel) worden bewogen. Kies je als aandrijving van die schroefspindel stappenmotoren, dan zijn de bereikte posities ook nog eens uitstekend reproduceerbaar. Een dergelijk mechanisme is bijvoorbeeld prima te programmeren als plaatsingsmachine voor electronica-onderdelen; of als eenvoudige montagerobot. Het gereedschap dat op de bovenste slede wordt gemonteerd (bijvoorbeeld een grijper) blijft bij willekeurig welke positie van de sleden in precies dezelfde stand. Er zijn immers geen rotaties voorzien in deze opzet. Voor een universele montage of verfspuitrobot is dat wel te beperkt.
b. Twee translaties, één rotatie
De twee translaties staan uiteraard altijd loodrecht op elkaar, zodat een plat vlak geheel bestreken wordt. De ene rotatie kan rond één van de translatieassen plaats vinden; of rond de derde as, dus loodrecht op de beide translatieassen. In ieder geval zullen alle assen onderling loodrecht moeten zijn, en door één en hetzelfde punt gaan. Anders beïnvloeden de bewegingen elkaar. De eerste vorm zou je kunnen beschrijven als "sleutel in slot steken, omdraaien en de (schuif) deur open schuiven". De tweede als "verrijdbare vuurtoren". Niet dat zoiets (bij mijn weten) werkelijk bestaat ....
c. Eén translatie, twee rotaties
De twee rotatieassen kunnen evenwijdig worden gekozen; of loodrecht op elkaar. De translatieas kan samenvallen met een van de rotatieassen. Het is echter ook mogelijk, de translatieas loodrecht op de rotatieas(sen) te zetten. Dit is dus een behoorlijk flexibele constructie. De meest voorkomende vorm is te karakteriseren als "sleutel in slot steken, omdraaien en de (draai) deur openduwen".
d. Drie rotaties
De kruiskoppeling. Maakt het mogelijk om in alle richtingen te zwenken en zo alle punten op een bolschaal te bereiken. Er zijn geen translaties voorzien, dus de straal van de bolschaal ligt vast in het ontwerp. In elk punt van de bolschaal kun je echter wel het uiteinde van de zwenkarm rond z'n lengteas laten draaien. Het is fysiek onmogelijk, de bewegingen over de volle 360° te laten verlopen. De onderdelen hebben nu eenmaal fysieke afmetingen en nabij de uiterste ondergrenzen belemmeren ze elkaar. Het middendeel van de kruiskoppeling, de ring met vier korte asjes, wordt de spin (spider) genoemd. Op elk van de twee lagerpaartjes draait een vork. De onderste vork is natuurlijk draaibaar rond een verticale as.
