Trochoid - een bijzonder geval

Wat is het eigenlijk?

Een trochoid is een discontinu object. Het is opgebouwd uit drie cirkelbogen, elk met straal R  en 60° ingesloten hoek. Het middelpunt van elke boog ligt precies op het eindpunt van de volgende boog. De "hoekpunten" A-B-C liggen op een gelijkzijdige driehoek met zijde R  en ingesloten hoeken van 60°.

Dit is een merkwaardige vorm. We weten allemaal: wanneer je een cilindrische as in een cilindrische lagerbus steekt, draait die mooi stabiel. Hij heeft maar twee graden van vrijheid: een rotatie om de hartlijn, en een axiale translatie langs de hartlijn. En kijk, voor een trochoid geldt precies hetzelfde. Hij heeft slechts op drie lijnen contact met de bus en TOCH ligt hij in elke stand keurig stabiel in de bus. Deze 2D animatie heb ik in OpenSCAD gemaakt. Hier heb je de code: Trochoid.scad

De trochoid wordt toegepast in roterende pompen en de Wankelmotor. Maar je kunt er meer spannende dingen mee doen ....

Van roterend naar translerend

Tussen excenter en sleuf

Voor we naar de bijzondere mogelijkheden van de trochoid kijken, eerst - als referentie - een "klassiek" excenter-mechanisme. Ik heb de excentriciteit gelijk gemaakt aan de straal van de excenterschijf. Rond het excenter hebben we een rechthoekig raamwerk geplaatst, met hoogte gelijk aan de excenterdiameter en breedte 2x de excenterdiameter. Kijk naar de beweging en let vooral op de verticale translatie van het raam. Die beweging is sinusvormig met mooie zachte richtingswisselingen in de bovenste en onderste stand. We doen er wel verstandig aan, het raam tussen twee verticale rechtgeleidingen te laten schuiven.

Deze 2D animatie heb ik in OpenSCAD gemaakt. Hier heb je de code: Cirkel_Raam.scad

Met trochoid, Versie 1

Vervolgens vervangen we de volle cirkel van het excenter door een trochoid. Hierboven heb je gezien dat die net zo mooi in een vaste boring loopt als de cirkel. Hier loopt hij even mooi en rustig in ons raamwerk.

Maar kijk eens naar de verticale translatie van het raam? Die is ineens discontinu geworden. Het raam staat gedurende een omwenteling twee maal over 60° gewoon stil, in de bovenste resp. de onderste stand. Dat is 1/3 van de omwenteling! Die twee ruststanden .... die kunnen voor een machineontwerper bjzondere mogelijkheden scheppen. Het is wel nodig om, bijvoorbeeld met twee rechtgeleidingen, de beweging van het raam zuiver verticaal te houden. Het mag niet gaan "meedraaien".

Als de cirkel in het eerste mechanisme even snel rond het middelpunt draait als de trochoid in het tweede mechanisme, dan is de gemiddelde snelheid van het raam voor beide gelijk. Gezien echter de twee rustperioden bij de trochoid, is de maximale snelheid gedurende de verticale beweging bij de trochoid groter dan bij de cirkel.

Deze 2D animatie heb ik in OpenSCAD gemaakt. Hier heb je de code: Trochoid_Rechthoekig_Raam.scad

Met trochoid, Versie 2

Vervang het rechthoekige raam door een vierkant, dat de trochoid precies omvat. De trochoid loopt hierin net zo mooi en rustig als in een cilindrische boring. De beweging van het raam is discontinu. Gedurende 2/3 van een omwenteling maakt het een rechtlijnige beweging (1/6 naar links, 1/6 naar rechts, 1/6 naar boven, 1/6 naar beneden. Gedurende de overige 1/3 van een omwenteling beschrijft het raam (in 4 delen) een cirkel(tje). Onder de animatie geef ik een multi-exposure opname van het raam (90 flitsen per omwenteling). Daarin zie je mooi de omhullende van de beweging van het raam. Ook hier moet je voorkomen dat het raam gaat "meedraaien". De getekende omhullende toont hoe je dat kunt doen: omvat het bewegende raam in een stilstaand vierkant raam met twee maal zo grote zijde. Dan is er gedurende 2/3 van een omwenteling steeds één zijde die rechtgehouden wordt.

Deze 2D animatie heb ik in OpenSCAD gemaakt. Hier heb je de code: Trochoid_Vierkant_Raam.scad