Dubbelboog - een bijzonder geval

Wat is het eigenlijk?

Een dubbelboog is een simpel te construeren 2D-object. Teken het lijnstuk AB, bestaande uit twee gelijke delen OA en OB. Trek een cirkelboog met straal AB vanuit A; en een tweede cirkelboog met straal AB vanuit B. De twee cirkelbogen snijden elkaar in C en D. Het valt eenvoudig in te zien dat A-B-C en A-B-D gelijkzijdige driehoeken zijn. Dat betekent, dat OC = OD = OA.√3 en de hoeken OAC = OAD = OBC = OBD = 60°.

Rond dit lensvormige object plaats je de rode gelijkzijdige driehoek X-Y-Z met hoogte 2.AB.

Je ziet dat in de hier getekende stand het object met de punten A, C en D tegen de rode driehoek steunt. Daarmee is het volledig opgesloten, het kan geen kant uit, of omvallen, of zo. Maar .... het kan WEL draaien. Kijk maar in de onderstaande animatie. Gedurende de draaiing zijn er steeds precies drie punten in (glijdend) contact met de rode driehoek. Dat wil zeggen, dat het object NIET kan transleren (in zijdelingse richting bewegen) en tegelijkertijd WEL vrij kan roteren. Het is daarbij in lke stand volledig stabiel ondersteund c.q. opgesloten.

Een cirkel in een cirkel doet exact hetzelfde. Alleen is bij ons object sprake van contact op drie punten - en bij de cirkels van contact over de hele omtrek (lijncontact).

Dit is toch wel een merkwaardig geval. Als je wat langer kijkt, zie je dat de punten A en B precies over de drie zijden van al weer een gelijkzijdige driehoek glijden. Die driehoek is half zo groot als de rode driehoek en hij staat op zijn punt. Je maakt die driehoek door de middenpunten van XY, YZ en XZ met elkaar te verbinden.

Je kunt van dit 2D-object heel eenvoudig een 3D-object maken door het in de Z-richting te extruderen. De bijzondere rotatie-eigenschap blijft daarbij (uiteraard) behouden.

Deze 2D animatie heb ik in OpenSCAD gemaakt. Hier heb je de code: Dubbelboog.scad

Bovenstaande animatie toont het object tijdens een volledige omwenteling. Het is ook interessant om een multi-exposure opname te maken. In de onderstaande prent is elke 4° van de omwenteling geflitst, in totaal dus 90 keer. De bovengenoemde driehoek, waarlangs A en B glijden is duidelijk te zien. Maar het allermooiste .... zie je de trochoid die om de desbetreffende driehoek staat?

Over de trochoid vind je op DEZE pagina meer informatie.