Zijdelingse verplaatsing van bewegingen

Cardano's assen

Kruiskoppelingen en een cardanas

Een mechanisme dat zeer wijd verspreid is. Het komt (kwam) in vrijwel elke auto een of meer malen voor. Vrachtwagens en tractoren met een "aftak-as" gebruiken vaak een losse cardanas om het motorvermogen toe te leiden aan bijvoorbeeld een pomp of een lier.

Laten we beginnen met één enkele kruiskoppeling. Die bestaat uit twee gaffels, 90° gedraaid t.o.v. elkaar; en een spin of kruisstuk.

1. naaldlager
2. gaffel
3. smeernippel
4. spin
5. flens

De gaffels omvatten elk twee van de lagerpennen van de spin met naaldlagers, zodat de hele zaak soepel draaien kan en daarbij een heel redelijk vermogen kan overbrengen. Het rendement is hoog, er wordt maar weinig warmte ontwikkeld. Met de kruiskoppeling wordt het mogelijk, de uitgaande as af te buigen ten opzichte van de ingaande as. Noem deze hoekverdraaiing (schuinstelling) β . Als de ingaande as eenparig draait, draait de uitgaande as NIET eenparig.

De afwijking wordt gegeven door de oneenparigheidsgraad: δ = (ω_{uit max} - ω_{uit min}) / ω_in = sin(β) . tan(β)

Nevenstaand diagram is gemaakt in OpenSCAD. Je vindt de code hier: Kruiskoppeling.scad

Dit diagram laat het effect van de oneenparigheid zien. De groene streepjes staan precies elke 15° van een omwenteling van de ingaande gaffel. Deze draait dus eenparig.

De rode streepjes van de uitgaande gaffel staan dichter bij elkaar rond 6 en 12 uur en verder uit elkaar rond 3 en 9 uur.

De oneenparigheidsgraad bij hoekverdraaiing β  = 30°  bedraagt δ = 29%. Het zal duidelijk zijn, dat de aandrijving in dit geval verschrikkelijk staat te trillen (mede afhankelijk van het ingaande toerental en opslingereffecten nabij de eigenfrequentie).

Oneenparigheid in een aandrijflijn is ONgewenst. Kunnen we dan de kruiskoppeling niet gebruiken? Toch wel, want als we een tweede kruiskoppeling achter de eerste schakelen, kunnen we de oneenparigheid in de dan uitgaande as (deels of zelfs helemaal) opheffen.

Verder naar onder op deze pagina leg ik uit, hoe dat in z'n werk gaat en aan welke voorwaarden daarbij moet zijn voldaan. Maar nu eerst wat tastbaars ....

Een cardanas leent zich uitstekend om met onderdelen uit een metaalbouwdoos nagebouwd te worden. Zeker wanneer daarin ook van die mooie kleine kruiskoppelingetjes zijn opgenomen. Hier zie je er twee in serie geschakeld, in gebruik, in een zogenaamde Z-opstelling. In dit geval wordt de oneenparigheid die de eerste kruiskoppeling introduceert, precies helemaal opgeheven door de tweede. De tussenas blijft natuurlijk WEL oneenparig bewegen. Zolang daar geen grote massa's op grote diameters aan vast zitten, is het effect van die oneenparigheid te verwaarlozen. Je ziet het, het is alleen maar een slank en licht asje ....

Aan een dergelijk model zie je onmiddellijk een typische eigenschap van de cardanas: je hebt heel wat lengte nodig om een zekere zijdelingse verplaatsing te realiseren. Gebruikelijk is, om de hoek β  van de tussenas niet groter dan 15-25° te maken. Dan heb je voor een zijdelingse verplaatsing A  ogeveer 4 . A  tot 2,5 . A  aan lengte nodig.

Een tweede typische eigenschap is de axiale verschuiving die ontstaat door de afbuiging over de hoek β . Stel dat de tussenas de lengte L = 100  mm heeft. Bij gegeven hoek β  is de zijdelingse verplaatsing L . sin(β)  en de daarbij horende axiale verplaatsing L . (1-cos(β)) . Voor β = 15 is dit 26 resp. 4 mm.

Je dient in het ontwerp van jouw aandrijflijn natuurlijk rekening te houden met deze axiale verkorting. Zolang β  constant is, geeft dit geen probleem. Nu is (was), ik schreef dat al in de inleiding van deze pagina, een belangrijke toepassing van de cardanas in auto's. Je vindt (vond) hem tussen de koppeling en het differentieel van de aangedreven wielen. Bij het indrukken van de vering verandert de afbuiging β .

Om daar niet door in de problemen te geraken, maakt (maakte) men de tussenas telescopisch. Je gebruikt dan (bijvoorbeeld) een as die in een buis axiaal wat heen-en-weer kan schuiven. Om het ingaand koppel over te brengen, moeten as en buis natuurlijk hoeksynchroon blijven draaien. In de meeste gevallen lost men dit op door het gebruik van een spline: de as krijgt buitenop tanden in axiale richting; de bus krijgt binnentanden in axiale zin. Samen vormen ze dan een axiale schuifkoppeling.

De oneenparigheid nader bekeken

Schema van een cardanas: algemene situatie. Links, in rood, de ingaande as met gaffel. De spin is wit aangegeven. In het midden, in groen, de tussenas met twee gaffels. Rechts, in wit, de uitgaande as met gaffel. De ingaande as is afgebogen over de hoek β_IN = - 20°. Het grijze vlak gaat door de ingaande as en de tussenas (zoals je aan de spin kunt zien). Het oranje vlak rechts gaat door de tussenas en de uitgaande as. Het is over de hoek φ = 30° gekanteld. De uitgaande as is (in het oranje vlak) afgebogen over de hoek β_UIT = - 20°.

Dit schema is gemaakt in OpenScad. Hier vind je de code: Cardanas_Schema.scad.

De Z-opstelling. In dit geval geldt  φ = 0 (met andere woorden: alle drie de assen liggen in één en hetzelfde vlak). Beide gaffels van de tussenas liggen in één vlak. Is nu  β_UIT = - β_IN  (met andere woorden: in- en uitgaande assen zijn evenwijdig) dan draait de uitgaande as exact hoeksynchroon met de ingaande as. Loopt de ingaande as eenparig, dan loopt ook de uitgaande as eenparig.

De W-opstelling. Ook in dit geval geldt  φ = 0 (met andere woorden: alle drie de assen liggen in één en hetzelfde vlak). Beide gaffels van de tussenas liggen in één vlak. Is nu  β_UIT = β_IN  dan draait de uitgaande as exact hoeksynchroon met de ingaande as. Loopt de ingaande as eenparig, dan loopt ook de uitgaande as eenparig.

Ruimtelijke afbuiging

Het is niet persé noodzakelijk dat alle drie de assen (ingaand, tussen- en uitgaand) in één vlak liggen. Bij aftakassen bijvoorbeeld, komt dat vaak voor. Wil je in dat geval oneenparigheid van de uitgaande as voorkomen, dan moet je de hoek  φ  tussen de twee gaffels op de tussenas precies op de juiste waarde instellen.

Die juiste waarde wordt bepaald door de ruimtehoeken waaronder de in- en uitgaande as staan. De berekening loopt als volgt.

Zoals uit dit schema blijkt, leg je het assenstelsel x-y-z op de tussenas als nulstand. Eerst bepaal je dan in het bovenaanzicht de hoeken  β_IN,hor  en  β_UIT,hor  en vervolgens in het zijaanzicht de hoeken  β_IN,vert  en  β_UIT,vert .

Bovenaanzicht

Zijaanzicht

βIN,hor = 7° βIN,vert = 15°

βUIT,hor = 12° βUIT,vert = -11.5°

Hieruit bereken je de werkelijke (ruimte) hoeken en standen van de in- en uitgaande as.

βIN = arctan √ (tan2 βIN,hor + tan2 βIN,vert ) φIN = arctan (tan βIN,hor  / tan βIN,vert )

βUIT = arctan √ (tan2 βUIT,hor + tan2 βUIT,vert ) φUIT = arctan (tan βUIT,hor  / tan βUIT,vert )

Tenslotte bepalen we de in te stellen verdraaiing van de tussenas-gaffel aan de uitgaande zijde ten opzichte van de tussenas-gaffel aan de ingaande zijde (met andere woorden, de hoek tussen de twee groene gaffels).

φ = φ_IN - φ_UIT

Ook dit schema, inclusief de berekening, is gemaakt in OpenScad. Hier vind je de code: Cardanas_Schema2.scad.