Nederlands   English
 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11 

dommekracht / jack

ALEX DEN OUDEN
EINDHOVEN - NEDERLAND

 1024×768
   (min.)
Oude techniek en werktuigbouw,
industriële geschiedenis en archeologie
Historical engineering and technology,
industrial archaeology and history
© AdO 1998 ... 2004

     


      Terug naar de index der artikelen ...                Back to the index of articles ...   

Vrijheidsgraden van beweging

Degrees of freedom of motion

In de machinebouw komt het er vaak op aan, dat een onderdeel een bepaalde voorgeschreven beweging uitvoert. Daarvoor zijn in de loop der tijd ontelbaar veel mechanismen ontdekt en ont­wikkeld. Op deze pagina bekijken we een aantal simpele basis­bewegingen en tonen we enkele mechanismen die worden gebruikt om deze bewegingen te verkrijgen.

rechtlijnige beweging
rectilinear motion

In mechanical engineering, we often require that some part of a machine performs a predetermined motion. Over the years, a great many mechanisms were invented and developed just for this purpose. On this page, we shall look at a number of simple elementary motions and show some of the mechanisms used to obtain these motions.

Eerst wat theorie


1. Een beweging analyseren

Let's start with a bit of theory


1. Analysis of motion

Een beweging van bijvoorbeeld een machine-onderdeel is te be­schouwen als een aaneenschakeling van posities. Pak een foto­toestel. Maak de kamer (het laboratorium) volstrekt donker en zet de sluiter van de camera open. Zet het te bestuderen onder­deel in de beginpositie en laat de flitser één flits geven. Draai de film NIET door. Laat nu het onderdeel zijn beweging maken en geef tijdens de beweging acher elkaar een serie flitsen, steeds met gelijke tijdsintervallen en zonder de film door te draaien. Als het onderdeel zijn eindpositie heeft bereikt, stop je met flitsen. Als je de film nu ontwikkelt, zie je de bedoelde "aaneenschakeling van posities" fraai gevisualiseerd. De herhaalde flitsen op steeds gelijke tijdsintervallen wek je in de praktijk op met een zogenaamde stroboscoop.

bewegingsanalyse door middel van een stroboscoop
analysis of motion by means op a stoboscope

The motion of, say, a machine part can be regarded as a sequence of individual positions. Get your camera. Darken the room (your laboratory) completely and open the shutter of the camera. Place the part to be studied in its start position and let the flashgun give a single flash. Do NOT wind the film. Now set the part in motion and during that motion, regularly flash the flashgun at fixed intervals. Again, do not wind the film between exposures. When the part has reached its final position, stop the flashgun. Now develop the film and you will see the sequence of positions mentioned just now, visualised in a very clear manner. The repeated flashes of the flashgun, timed on exact intervals, are in practice generated with a so-called stroboscope.

Een voorbeeld? Nevenstaande prent is zo'n opname van de beweging die we aan de kop van deze pagina zien lopen.

An example? The illustration shown here is such a multi-exposure of the motion running at the top of the page.


2. Een beweging beschrijven

Wanneer je een beweging van een machine-onderdeel wilt beschrijven, zul je de zojuist in beeld gebrachte "aaneenschakeling van posities" moeten vastleggen. Dat vergt, dat we in staat zijn om elk van die posities volledig en eenduidig te definieren. Laten we dus éérst eens bezien, hoe je een enkele positie het best volledig en eenduidig kunt beschrijven.


2. Describing motion

If you want to describe the motion of a part of a machine, you will have to define the sequence of postions we just encountered. Well, to do that, we must be able to accurately and unequivocally define each of those positions. So let us first try to discover, how one can best describe a single position accurately and unequivocally.


3. Een positie beschrijven


3. Defining a position

Wil je een positie eenduidig kunnen beschrijven, dan begin je ermee, een vaststaand referentiekader te definieren. In veel gevallen werk je het handigst in een rechthoekig (Carthesisch) coordinatenstelsel. Dit kent drie assen, de x-, de y- en de z-as, die onderling loodrecht op elkaar staan. Het snijpunt van de drie assen noemen we "de oorsprong".

Kijken we eerst eens naar een héél klein voorwerp, eentje met (vrijwel) geen fysieke afmetingen. Een wiskundige noemt dat "een punt". Wij noemen het "P".

Carthesische coordinaten
rectangular coordinates

If you want to describe a position unambiguously, you had better start by defining a fixed frame of reference. In many instances, a rectangular (Carthesian) co-ordinate system works handiest. This has three axes, the x-, the y- and the z-axis. These are mutually perpendicular. The single intersection point of the three axes is called "the origin".

Let's begin by looking at a really very small part, one having virtually no dimensions. Mathematicians call this "a point". We'll call it "P".

Om van de oorsprong van ons assenstelsel naar "P" te gaan, reizen we eerst een stukje langs de x-as, gaan verder langs de y-as en volgen tenslotte de z-as tot we precies in het punt uitkomen. De afstanden die we langs de drie assen moeten afleggen, noem ze x, y en z, worden "de coordinaten van het punt P" genoemd. Het drietal (x, y, z) definieert in ons gegeven assenstelsel volledig de positie van "P".

To move from the origin of our framework to "P", we first travel a bit along the x-axis, continue along the y-axis, and finally follow the z-axis until we arrive precisely in the point "P". The distances we have to travel along the three axes, call them x, y and z, are said to be "the co-ordinates of point P". The triplet (x, y, z) fully defines the position of "P" in our given co-ordinate system.

In de praktijk bestaan punten natuurlijk niet, elk fysiek voorwerp heeft nu eenmaal afmetingen. We kunnen dan de positie van het voorwerp proberen te beschrijven door de coordinaten van het zwaartepunt van het voorwerp op te geven. Maar daarmee ben je er niet. Staat het voorwerp? Ligt het? Je moet in dit geval naast de positie van het zwaartepunt ook nog de stand opgeven.

Je kunt de variaties in de stand van het voorwerp altijd terug­brengen tot drie hoofdverdraaiingen: een rotatie om de x-as, een rotatie om de y-as en een rotatie om de z-as.

drie standen
three positions

It will be evident that in the actual world, points do not exist. Every object has its dimensions. We now can try to define the position of such a real object by giving the co-ordinates of its centre of gravity. But that does not suffice! Is the object standing? Does it lie? On its back or sideways? In the real world, you will have to define both the position of the centre of gravity and the stature of the object.

You can always reduce the variations in stature of the object to three basic rotations: a rotation around the x-axis, a rotation around the y-axis and a rotation around the z-axis.

Die drie hoofdverdraaiingen zie je in bovenstaande figuur de revue passeren. Pak eens een luciferdoosje en probeer het zelf uit ....

Goed. Om positie en stand van het onderdeel volledig en eenduidig vast te leggen, heb je dus zes gegevens nodig: (x, y, z, rot.x, rot.y, rot.z).

These three basic rotations are illustrated in the picture shown here. Get a box of matches and try the various possibilities for yourself ....

All right. To define position and stature of a part completely and unequivocally, we need six data: (x, y, z, rot.x, rot.y, rot.z).

4. Nogmaals: een beweging beschrijven

Als we in staat zijn, de positie en stand van een machine-onderdeel op een willekeurig moment vast te leggen in het zestal (x, y, z, rot.x, rot.y, rot.z), dan kunnen we de complete beweging van dat onderdeel beschrijven door de ontwikkeling van dit zestal in de tijd te volgen. Denk nog even terug aan de serie momentopnamen die we aan het begin van deze pagina met de stroboscoop maakten. Bij elk beeldje dat we zien hoort een eigen zestal (x, y, z, rot.x, rot.y, rot.z).

De werktuigbouwer noemt een beweging langs de x-as, de y-as of de z-as een translatie en een beweging rond de x-as, de y-as of de z-as een rotatie.

Kan een onderdeel volledig vrij en ongehinderd op alle zes genoemde manieren bewegen, dus langs en rond de x-as, langs en rond de y-as en ook langs en rond de z-as, dan zegt men dat het onderdeel zes vrijheidsgraden heeft. Beperkt men de vrijheid, bijvoorbeeld door geen rotaties toe te staan, dan heeft het onderdeel (nog) drie vrijheidsgraden, namelijk drie translaties. Staat men alleen een translatie langs de x-as en een rotatie om de x-as toe, dan is er sprake van twee vrijheidsgraden. Enzovoorts.

4. Again: describing motion

Now that we can describe the position and stature of any given part of a machine on any arbitrary moment in the sextet (x, y, z, rot.x, rot.y, rot.z), it is easy to see that we may define the complete motion of that part by describing the development of this sextet in time. Do you remember how we made a sequence of exposures with a stroboscope at the top of this page? Every single image in this sequence has its own sextet (x, y, z, rot.x, rot.y, rot.z).

A mechanical engineer calls a motion along the x-axis, the y-axis or the z-axis a translation and a motion around the x-axis, the y-axis or the z-axis a rotation.

When a part can move fully free and completely untrammelled in all six manners described, i.e., along and around the x-axis, along and around the y-axis and also along and around the z-axis, we say this part has six degrees of freedom of motion. Now say, one limits the freedom by not allowing any rotations, this part has only three degrees of freedom left, the three translations. If one allows only a translation along the x-axis and a rotation around same, the part has but two degrees of freedom of motion. And so on.


Genoeg theorie!


In de machinebouw zal het zelden voorkomen, dat een onderdeel volledig vrij door de ruimte fladdert. Dat heeft geen nut. Nee, meestal wordt de vrijheid van beweging juist (sterk) beperkt, door een lagering of door een geleiding bijvoorbeeld. Vrijwel altijd is in de praktijk het aantal vrijheidsgraden beperkt tot hooguit drie of vier.


We zullen hieronder een aantal typische gevallen onder de loep nemen.



That's enough theory!


In mechanical engineering, a part that flutters through space fully untrammelled is exceedingly rare. It would not have any practical benefit. It is common to reduce the freedom of motion, for instance by a bearing or a guide. Usually the number of degrees of freedom is restricted to at most three of four in practice.


We now shall take a closer look at a number of typical constructions.

Bij de hier gegeven voorbeelden toon ik de beschreven beweging steeds schematisch (vereenvoudigd) in een geanimeerde (bewegende) tekening.

Nu zijn dit soort basisbewegingen bijzonder geschikt om in een metaal­bouwdoos (Trix (Duits), Meccano (Engels), Temsi (Nederlands) of een ander fabrikaat) te worden (na)gebouwd. Ik geef daarom ook steeds isometrische CAD-tekeningen van één of meer uitvoeringsvormen in dit medium. Deze CAD-tekeningen tonen niet alleen de bouwwijze, maar ook het gerede model in één of meer standen.

Bij de constructie van deze modellen is zoveel mogelijk van eenvoudige basis-onderdelen van de metaalbouwdoos uitgegaan. Ze kunnen dus met betrekkelijk weinig moeite en een geringe investering worden gebouwd.

In the examples shown below, I illustrate the motion described with a schematic (simplified) animated drawing.

Now these basic motions are extremely well-suited to be (re)constructed in parts from a metal construction box (Trix (German), Meccano (English), Temsi (Dutch) or any other manufacture). Therefore I add isometric CAD-drawings of one or more executions in this material. The CAD-drawings do not only show the manner of construction, they also give the finished model in one or more positions.

In developing these models, I've used simple basic parts from the metal construction sets as much as possible. So they can be built with little difficulty and expense.


Alle hier gepresenteerde isometrische tekeningen zijn in het *.DWF-formaat. Om ze te bekijken heb je een DWG/DWF-viewer nodig. Heb je die al geïnstalleerd op je PC, klik dan gewoon op de cursieve rode links. Heb je nog géén DWG/DWF-viewer, ga dan eerst naar DEZE pagina om er eentje op te halen. Installeer 'm en kom dan hier terug.

Gebruik altijd de "terug"-toets van je browser om van een tekening weer naar deze pagina terug te keren.



All isometric drawings presented here are in the *.DWF-format. To view them, you need a DWG/DWF-viewer. Did you already install one? Then simply click the red italic links in the lists below. If you have not yet got a DWG/DWF-viewer, then first go to THIS page to collect one. Then install it and return to the present page.

Always use the "back"-button of your browser to return from any opened drawing to this page.


1. Eén vrijheidsgraad

1. One degree of freedom

a. Eén translatie

a. One translation

Een eenvoudige rechtgeleiding. Twee belangrijke overwegingen bij het construeren: (1) de geleiding moet nastelbaar zijn en (2) de geleiding moet zo veel mogelijk on­afhankelijk van de temperatuur zijn. Nastelbaar, omdat fabricage-toleranties nu een­maal onvermijdelijk zijn; en ook omdat een ge­leiding na verloop van tijd (bij intensief gebruik) slijtage zal vertonen. Onafhankelijk van de tempe­ratuur, omdat bij ongelijke thermische uit­zetting van de samenstellende onderdelen de geleiding vast zou kunnen lopen.

één vrijheidsgraad, translatie
one degree of freedom, translation

A simple linear guide. Two important considerations when designing this guide are: (1) it must be adjustable and (2) the guide must be irrespective of temperature as much as possible. Adjustable, as manufacturing tolerances are practically unavoidable; and also because a guide, when used intensively, will in time show some wear. Irrespective of temperature, to prevent jamming due to unequal thermal expansion of the components of the guide.

b. Eén rotatie

b. One rotation

Een simpele lagering met axiale opsluiting. Zonder axiale opsluiting ware er sprake van twee vrijheidsgraden (een rotatie en een translatie).

Het getoonde voorbeeld (twee stripjes, een schroefje en twee contramoertjes) is, werktuigbouwkundig gezien, knoeiwerk. Het scharnier heeft altijd speling en die resulteert in een zwabberende beweging. Een afrader! Gebruik liever een echte lagering met asje en busje. Bij voldoende lang busje is de zaak veel stabieler.

één vrijheidsgraad, rotatie
one degree of freedom, rotation

A straight-forward bearing with axial fixation. Without axial fixation, the construction would have two degrees of freedom (one rotation, one translation).

The example shown here (two strips, a bolt and two counternuts) is, from a mechanic's point of view, shoddy work. The hinge always has (some) play which results in a wobbling motion. To be avoided! It's much better to apply a real bearing with a shaft and a bushing. If the latter is long enough, the lot will be far more stable.

In plaats van een busje kun je natuurlijk ook het asje lageren in twéé stripjes, op voldoende afstand van elkaar geplaatst.

Instead of a bushing, you can of course also support the shaft in two strips, if these are placed at sufficient distance from each other.

2. Twee vrijheidsgraden

2. Two degrees of freedom

a. Twee translaties

a. Two translations

De kruistafel, die je in de praktijk veelvuldig tegenkomt. Als objecttafel van een micro­scoop, bijvoorbeeld; of als een set kruissleden op een draaibank.

Deze constructie is eenvoudig op te bouwen uit twee afzonderlijke sleden, elk met één translatie (zie boven). De enige eis is dat beide bewegingen loodrecht op elkaar staan. In dat geval beïnvloedt een beweging langs de ene as die langs de andere as niet.

In het schema hiernaast is de bovenste slede excentrisch op de onderste geplaatst. Het is verstandiger, de dwarsslede ongeveer midden op de langsslede te plaatsen, zeker wanneer er flinke verticale krachten op de sleden werken. Bij excentrische plaatsing is het kantelgevaar aan het einde van de naar buiten gerichte slag groter.

twee vrijheidsgraden, twee translaties
two degrees of freedom, two translations

A compound slide, well-known in engineering shops. As an object table for a microscope, to mention an example, or as a cross-feed (compound) rest for a lathe.

This construction is obtained by combining two linear guides as discussed previously (a single translation each). The only requirement is, that the two are perpenticular to each other, otherwise a motion along one axis will influence motion along the other axis.

In the schematic drawing shown here, the upper slide is mounted eccentrically on the bottom slide. It is more sensible to put it in the centre of the bottom slide, particularly so when larger vertical loads are expected. Eccentric mounting brings a much bigger risk of tilting at the outer end of the top slide stroke.

b. Eén translatie, één rotatie

b. One translation, one rotation

Deze beweging komt in velerlei gedaanten voor. De as waarlangs de translatie plaats heeft en de as waarom de rotatie geschiedt, kunnen samenvallen, evenwijdig zijn, of haaks op elkaar staan.

In de eerste gevallen spreken we van een beweging van het type "sleutel in slot steken en omdraaien", in het laatste geval van een beweging van het type "kopje koffie inschenken" of ook wel "hand uitsteken en schudden".

twee vrijheidsgraden, één translatie, één rotatie
two degrees of freedom, one translation, one rotation

This motion can be encountered in a number of shapes. The axis along which the translation takes place and the axis around which the rotation takes place, can be coincident, parallel or perpendicular.

In the first cases, we have a motion of the type "insert a key in the lock and turn it". In the last case, we have a motion of the type "pour a cup of coffee", also known as "extend a hand and give a shake".

c. Twee rotaties

c. Two rotations

Ook in dit geval zijn er twee soorten constructies te onderscheiden. De assen van de rotaties kunnen immers evenwijdig zijn; en ze kunnen onderling loodrecht staan.

Het eerste type zou je kunnen kenschetsen als "de zwanehals"; het tweede is het makkelijkst beschreven met "rock-en-roll".

In het laatste geval dien je er voor te zorgen, dat beide assen elkaar snijden, niet kruisen. Ware dat laatste het geval, dan beïnvloeden beide rotaties elkaar namelijk.

twee vrijheidsgraden, twee rotaties
two degrees of freedom, two rotations

In this instance, again, we can discern two types of construction. The axes of the two rotations can be set parallel; they can however also be chosen perpendicular to each other.

The first type could be described as "a swan neck"; the second type is perhaps best defined by the term "rock-and-roll".

In the latter case, you must take care that the two axes do actually intersect. Should they only cross, the two rotations would influence each other.

3. Drie vrijheidsgraden

3. Three degrees of freedom

a. Drie translaties

a. Three translations

Met een drie-sleden constructie als deze kan elk willekeurig punt in een kubus met ribben gelijk aan de x-slag, y-slag en z-slag worden bereikt.

Zo kun je bijvoorbeeld een nauwkeurige mani­pulator bouwen. Voorwaarde is, dat alle drie de sleden (zeer) spelingsarm zijn; en door een nauwkeurig verstelmechanisme (bijvoorbeeld een schroefspindel) worden bewogen. Kies je als aandrijving van die schroefspindel stappen­motoren, dan zijn de bereikte posities ook nog eens uitstekend reproduceerbaar.

Een dergelijk mechanisme is bijvoorbeeld prima te programmeren als plaatsingsmachine voor elec­tronica-onderdelen; of als eenvoudige montagerobot.

Het gereedschap dat op de bovenste slede wordt gemonteerd (bijvoorbeeld een grijper) blijft bij willekeurig welke positie van de sleden in precies dezelfde stand. Er zijn immers geen rotaties voorzien in deze opzet. Voor een universele montage of verfspuitrobot is dat wel te beperkt.

drie vrijheidsgraden, drie translaties
three degrees of freedom, three translations

With a three-slide construction like this, you can reach any point you like in a cube having ribs equal to the x-stroke, y-stroke and z-stroke.

In this way, you can build an accurate manipulator. Two requirements are, (1) that all three slides show minimal play; and (2) that they are moved along by accurate mechanisms, such as screw spindles. If you power the screw spindles with stepping motors, any position you program can accurately be reproduced.

A mechanism like this is particularly well-suited for mounting machines for electronic components, or for simple assembling robots.

The tool that is mounted on top of the top slide - say a gripper - maintains its stature for each position of the slides, as no rotations are allowed. If you are looking for a general-use assembly or paint spraying robot, this is of course not good enough.

b. Twee translaties, één rotatie

b. Two translations, one rotation

De twee translaties staan uiteraard altijd loodrecht op elkaar, zodat een plat vlak geheel bestreken wordt. De ene rotatie kan rond één van de translatieassen plaats vinden; of rond de derde as, dus loodrecht op de beide translatieassen. In ieder geval zullen alle assen onderling loodrecht moeten zijn, en door één en hetzelfde punt gaan. Anders beïnvloeden de bewegingen elkaar.

De eerste vorm zou je kunnen beschrijven als "sleutel in slot steken, omdraaien en de (schuif) deur open schuiven". De tweede als "verrijdbare vuurtoren". Niet dat zoiets (bij mijn weten) werkelijk bestaat ....

drie vrijheidsgraden, twee translaties, één rotatie
three degrees of freedom, two translations, one rotation

The two translations will naturally be chosen perpendicular, so that all points in a flat plane can be reached. The single rotation allowed, can either be around one of the translation axes; or around a third axis, perpendicular to the two translation axes. In both cases, all axes will have to be perpendicular and intersect in a single point to prevent them from influencing each other.

The first type could be described as "insert a key in the lock, turn it, and push open the (sliding) door". The second type as "transportable lighthouse". Which - as far as I know - has not been invented yet ....

c. Eén translatie, twee rotaties

c. One translation, two rotations

De twee rotatieassen kunnen evenwijdig worden gekozen; of loodrecht op elkaar. De translatieas kan samenvallen met een van de rotatieassen. Het is echter ook mogelijk, de translatieas loodrecht op de rotatieas(sen) te zetten. Dit is dus een behoorlijk flexibele constructie.

De meest voorkomende vorm is te karakteriseren als "sleutel in slot steken, omdraaien en de (draai) deur openduwen".

drie vrijheidsgraden, één translatie, twee rotaties
three degrees of freedom, one translation, two rotations

The two axes of rotation can be chosen parallel or perpendicular. The single translation axis may coincide with one of the rotation axes. It can however also be set perpendicular to the rotation axis (axes). All in all, this construction is quite flexible.

The most usual shape can be characterised as "insert a key in the lock, turn it, and push open the (revolving) door".

d. Drie rotaties

d. Three rotations

De kruiskoppeling. Maakt het mogelijk om in alle richtingen te zwenken en zo alle punten op een bol­schaal te bereiken. Er zijn geen translaties voorzien, dus de straal van de bolschaal ligt vast in het ontwerp. In elk punt van de bolschaal kun je echter wel het uiteinde van de zwenkarm rond z'n lengteas laten draaien.

Het is fysiek onmogelijk, de bewegingen over de volle 360° te laten verlopen. De onderdelen hebben nu eenmaal fysieke afmetingen en nabij de uiterste ondergrenzen belemmeren ze elkaar.

Het middendeel van de kruiskoppeling, de ring met vier korte asjes, wordt de spin (spider) genoemd. Op elk van de twee lagerpaartjes draait een vork. De onderste vork is natuurlijk draaibaar rond een verticale as.

drie vrijheidsgraden, drie rotaties
three degrees of freedom, three rotations

The universal joint. Allows rotation in all directions, so (in theory) all points on a spherical surface can be reached. As no translations are allowed, the radius of the spherical surface is fixed in this design. In each point of the surface, the end of the sweeping arm can be turned around its length.

It is impossible to have the arm sweep the full 360° as the construction parts need have some physical dimensions. At the outer ends of the sweep, parts will therefore clash.

The central part of the universal joint, the ring with four short shafts sticking out of it, is called the "spider". On each of the two sets of small bearings around these short shafts, a fork rotates. The lower fork can of course rotate freely around a vertical spindle.


naar de top    naar de top to the top    to the top